lunes, 5 de octubre de 2015

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectánguloasociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sen, sin	$\sen \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,$
Coseno	cos	$\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sen \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\tan \theta} \,$
Tangente	tan, tg	$\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\cos \theta} \,$
Cotangente	ctg (cot)	$\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sen \theta} \,$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sen \theta} \,$
Cosecante	csc (cosec)	$\csc \theta \equiv \frac{1}{\sen \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,$

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo:

\alpha

, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sen \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo

\alpha

, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

$\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

$\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

$\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}$

Radián

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

En general, si tenemos una circunferencia de radio r, y un cierto ángulo a subtendiendo un arco de longitud s, el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en radianes.

Por otra parte, nosotros conocemos que la mitad de la circunferencia corresponde a un arco de longitud pr, mitad que equivale a un ángulo de 180° , lo cual nos permite hacer transformaciones entre radianes y ángulos:

Por ejemplo, ¿ cuántos radianes son 30° ?.

Respuesta: considerando la relación

tenemos que x = p/6 radianes.

Otro ejemplo, ¿ cuántos grados son 0,357 radianes ?.

Respuesta: considerando la relación

tenemos que x = 20,45° .

* Es interesante también recordar que 1 radián son 180°/p , es decir, 57,29... grados. Mientras que 1 grado son p/180° , o sea, 0,1745... radianes.

* PROPIEDADES INMEDIATAS

* Según esta definición de radian, puede establecerse la siguiente relación entre un ángulo a y el arco de circunferencia subtendido:

s = a . r

es decir, la longitud del arco s es el producto del ángulo a (en radianes) por el radio del circulo.

* Algunas equivalencias entre ángulos en grados y en radianes:

Grádos	Radian.
30°	p/6
60°	p/3
90°	p/2
120°	2p/3
180°	p
270°	3p/2
360°	2p

NOTA: Es muy práctico conocer "de memoria" la tabla presente, pues con ello ganamos en "velocidad de cálculo". Algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 75° , entonces:

75° = 60° + 15° -> p/3 + (1/2) p/6 -> 5p/12

Ejemplo 2: Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 265° , entonces:

265° = 270° - 5° -> 3p/2 - (1/6) p/6 -> 53p/36

* La circunferencia trigonométrica.

Se trata de una circunferencia imaginaria de radio r = 1, lo cual conduce a que la relación s = a . r, se reduzca a:

s = a

Esta circunferencia además facilita que podamos trazar fácilmente sobre ella los valores del seno, coseno y tangente de un determinado ángulo en radianes:

Si tenemos un ángulo a en una circunferencia trigonométrica como la de la figura, la longitud del cateto vertical (marcado en rojo) será el valor de sin a, puesto que la hipotenusa vale 1. Análogamente, la longitud del cateto horizontal (marcado en azul) es el valor de cos a.

En el presente ejemplo tanto el seno como el coseno son positivos, pues se encuentran o bien arriba del eje horizontal, o bien a la derecha del vertical. Pero pueden darse otros casos:

El ángulo de la figura 1 se halla en el cuadrante II y tiene como seno un valor positivo (en azul), el coseno (en rojo) tiene un valor negativo. En la figura 2, el ángulo se halla en el cuadrante III y ambos valores son negativos.

Nosotros podemos trazar este tipo de circunferencias trigonométricas para hacer diversas consideraciones sobre senos y cosenos de ciertos ángulos.

Por ejemplo:

En la figura 1 tenemos dos ángulos que se diferencia en p/2, sean a, b, con el mayor siendo b = a + p/2, entonces como puede apreciarse en la circunferencia trigonométrica los dos triángulos que aparecen sobre ella son iguales, pero lo que es el seno para el ángulo pequeño es el coseno (con signo negativo) para el grande, y lo que es el coseno para el pequeño es es seno para el grande. Por tanto podemos escribir:

sin (a + p/2) = cos a cos (a + p/2) = - sin a

En la figura 2 tenemos dos ángulos cuya suma es p (llamados ángulos suplementarios), sean a, b, con el mayor siendo b = p - a, entonces se puede apreciar que ambos senos coinciden, mientras que los cosenos tienen la misma longitud pero signos opuestos. Es decir:

sin (p - a ) = sin a cos ( p - a ) = - cos a

El alumno deberá acostumbrarse a manejar estas relaciones entre senos y cosenos de ángulos ayudándose de la circunferencia trigonométrica.

* Un caso especial: la tangente.

También podemos utilizar la circunferencia trigonométrica para hacer evaluaciones de tangentes de ángulos, aunque en este caso puede ser suficiente la consideración de que la tangente es el cociente de seno entre coseno.

Tangente de un ángulo que se halle en el cuadrante I..

Si nos fijamos en la circunferencia de arriba, para el ángulo a tenemos que su tangente es la longitud del segmento marcado en verde, puesto que sabemos que: tga = a/b, es decir, seno entre coseno, por lo tanto según el teorema de Tales aplicado a los triángulos semejantes:

ahora bien, la tangente es la línea verde de la figura de arriba que al estar sobre el eje horizontal es positiva, como efectivamente tiene que ser pues a/b es una cantidad positiva en el cuadrante I. Pero hay que tener cuidado con lo que sucede en los cuadrantes II y III. Veamos:

La tangente de un ángulo que se halle en el cuadrante II debe considerarse negativa.

Para estos casos la línea verde nos da el valor de la tangente (sin el signo), sin embargo hay que considerar que el sentido de la tangente puede diferir del de a/b. En el ejemplo de arriba, para un ángulo en el cuadrante II, la línea verde nos da el valor de la tangente sin embargo ésta es negativa, como así lo indica a/b. Una anomalía similar nos ocurre con los ángulos del cuadrante III, cuya línea de la tangente la tenemos que trazar hacia abajo y sin embargo esa tangente es positiva. En el cuadrante IV no hay esa anomalía.

Dominio y Rango de una Función

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x) =

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que elrango está conformado por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

UNIDAD DOS

Función matemática

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4,	−1 → +1,	±0 → ±0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Representación de funciones

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

1. Dominio de la función.

2. Simetría

3. Periodicidad

4. Puntos de corte con los ejes.

5. Asíntotas

6. Ramas parabólicas

7. Crecimiento y Decrecimiento

8. Máximos y mínimos

9. Concavidad y convexidad

10. Puntos de inflexión

Ejemplo de representación de una función

Dominio

Simetría

Simetría respecto al origen, es decir, la función es impar

Puntos de corte

Punto de corte con OX:

Punto de corte con OY:

Asíntotas

Asíntota horizontal

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas

Crecimiento y decrecimiento

Máximos y mínimos

Candidatos a extremos: x = − 1 y x = 1.

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Representación gráfica

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Tipos de funciones

1. Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

1.1 Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀+ a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es

, es decir, cualquier número real tiene imagen.

1.1.1 Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

1.1.2 Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

1.1.3 Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

1.2 Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

1.3 Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

1.4 Funciones algebraicas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

2. Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

2.1 Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^xse llamafunción exponencial de base a y exponente x.

2.2 Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

2.3 Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x