Derivada
En matemática,
la derivada de una función es
una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función
matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una
función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de
la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el
intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más
pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en
un punto dado.
Un
ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo,
su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice
un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a
una velocidad
media de
750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o
menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las
15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h.
Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario
calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor
de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
Entonces
el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta
tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho
punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de
más de una variable con la derivada
parcial y el diferencial.
La
derivada de una función f en
un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada
punto x es esta derivada
es la llamada función derivada de f, denotada por f′.
El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las
herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal.
Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.
Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.
Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:
Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
La interpretación geométrica de la derivada.
La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje  de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. |
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