Tipos de números reales

Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: = {1, 2, 3,4...}

Con los números naturales   se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.

Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.

El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.

El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales,  e , o bien , o bien.

Todo subconjunto  no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento  tal que para todo  de  se tiene .

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.

Los números enteros

Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

·         Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación suma.

·         Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se define como:

el entero positivo a-b, si a > b,
0, si a=b
el entero negativo -(b-a) si a < b

La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.

·         Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida comoel conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.

o    (-a)(-b)=ab

o    (-a)b=a(-b)=-(ab)

Los números racionales

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados), ={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }

• Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
  • La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
  • El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
  • Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.
    
       (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros) 
  • Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
  De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.
• En  se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.
• En  se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en  y en . Para ello basta con definirlo como sigue:
  
  
  Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que  si y sólo si  respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.
  Por tanto  con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

Los números irracionales

Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es

0.1234567891011121314151617181920........

claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.

Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional

      p Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.