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Propiedades de los Números Reales

Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros, decimales, etc. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, tasas de crecimiento y muchos más. Los números racionales e irracionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales y números irracionales. Estos números racionales se pueden dividir en números enteros y fracciones.

Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas que por lo general pueden ser articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales de multiplicación y suma.

Estas propiedades incluyen:

Propiedad Conmutativa de la Suma: Establece que el orden en el que dos números reales se suman no afecta a su sumatoria. Esto es,

Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10.

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: De acuerdo con esta, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo. En términos matemáticos,

Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12

Propiedad Asociativa de la Suma: Esta propiedad dice que la suma de tres números reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos, y luego se añade el tercer número a la sumatoria del grupo. Matemáticamente,

Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

Propiedad Asociativa de la Multiplicación: El producto de dos números reales se puede calcular de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y multiplicando el número del producto del primer y segundo número al tercer número. La segunda forma de hacerlo es preservando el mismo orden y multiplicando el primer número con el producto del segundo y tercer número. El resultado en ambos casos será el mismo. Para ser específicos,

Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24

Propiedad de Identidad de la Suma: ‘0’es el número neutral, es decir, la identidad para la suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número. Expresamente,

Ejemplo: 9 + 0 = 9

Propiedad de Identidad de la Multiplicación: Según esta propiedad de los Números Reales, el producto de cualquier número real con el elemento de identidad ‘1’ es el número real mismo. Es decir,

Ejemplo: 6 X 1 = 6

Inverso aditivo: Para cada Número Real, existe su inverso, de tal manera que la suma del número con su inverso dará como resultado 0, es decir,

Ejemplo: 3 + (−3) = 0

Inverso multiplicativo: De acuerdo con este, para todo Número Real distinto de cero, existe otro número real tal que el producto de los dos es 1. Matemáticamente,

Ejemplo: 3 X 1/3 = 1

Ley distributiva: En los Números Reales, la multiplicación se puede distribuir sobre la suma y viceversa.

Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16

Técnicamente, todas estas propiedades están denominadas en conjunto como los axiomas de campo. Estas propiedades ayudan a determinar el comportamiento de los números reales.

LOS NÚMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS

1. Los números enteros

Desde épocas remotas, el hombre debió satisfacer su necesidad de contar objetos, personas, animales. Para hacerlo, por intuición comenzó a usar los números que llamamos naturales:

, asociados al concepto de cantidad.

El conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos. El primer elemento es el uno, la unidad.

En ese conjunto se definen dos operaciones elementales: la adición y la multiplicación y se establecen las propiedades que para ellas se cumplen. La suma de dos números naturales cualesquiera es otro número natural y el producto entre dos números es también otro número natural. Se definen también, con ciertas limitaciones, las operaciones inversas: la sustracción y la división respectivamente. En el caso de la sustracción, el minuendo debe ser mayor que el sustraendo; en el de la división, el dividendo debe ser múltiplo del divisor.

En, la diferencia entre dos números y es el número si y sólo sí. Para que

esa operación sea posible, debe ser mayor que. Las operaciones, no pueden efectuarse.

El cociente entre dos números y es otro número si y sólo sí. El cociente no puede efectuarse porque no existe ningún número natural que multiplicado por resultado.

Como una extensión del conjunto de los naturales se crearon los números enteros. En el nuevo conjunto la diferencia entre dos números es siempre posible.

La unión entre el conjunto de los enteros positivos, el conjunto que

Tiene como elemento al cero y el de los enteros negativos es,

Precisamente, el conjunto de los enteros. El cero es el elemento

Neutro para la suma: para todo perteneciente a los Números negativos son los “inversos aditivos”, u opuestos de los Positivos.

Tipos de números reales

Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: = {1, 2, 3,4...}

Con los números naturales   se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.

Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.

El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.

El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales,  e , o bien , o bien.

Todo subconjunto  no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento  tal que para todo  de  se tiene .

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.

Los números enteros

Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

·         Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación suma.

·         Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se define como:

el entero positivo a-b, si a > b,
0, si a=b
el entero negativo -(b-a) si a < b

La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.

·         Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida comoel conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.

o    (-a)(-b)=ab

o    (-a)b=a(-b)=-(ab)

Los números racionales

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados), ={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }

• Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
  • La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
  • El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
  • Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.
    
       (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros) 
  • Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
  De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.
• En  se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.
• En  se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en  y en . Para ello basta con definirlo como sigue:
  
  
  Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que  si y sólo si  respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.
  Por tanto  con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

Los números irracionales

Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es

0.1234567891011121314151617181920........

claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.

Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional

      p Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.

Recta numérica

La recta numérica o recta real es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamadarecta graduada entera¹ ordenados y separados con la misma distancia.

Número reales

En matemáticas,el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y elcero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes¹ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.¹

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.