Límite

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertosinducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

CONTINUIDAD

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de $\R$ en $\R$ es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones realesde una variable real.

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite.

DISCONTINUIDAD

Una discontinuidad en matemática es un punto de una función y=f(x) en la cual la misma sufre un "salto" o cambio "brusco" de valor. Se verifica una discontinuidad cuando el valor de la función en un punto difiere del límite de esa función cuando nos acercamos a ese punto por derecha y por izquierda.

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Tipos de discontinuidades

$\left \{ \begin{array}{l} Discontinua { \color{Red} \left \{ \begin{array}{l} Evitable \\ No \; evitable { \color{PineGreen} \left \{ \begin{array}{l} De \; primera \; especie { \color{Blue} \left \{ \begin{array}{l} De \; salto \; finito \\ De \; salto \; infinito \\ Asint \acute{o} tica \end{array} \right . }\\ \\ De \; segunda \; especie \end{array} \right . } \\ \end{array} \right . } \\ Continua \end{array} \right .$

Discontinuidad evitable

Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.

Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.

$\left \{ \begin{array}{l} \left . \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{\text{lím}} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{\text{lím}} \; f(x) = c \end{array} \right \} \underset{x \to {a}}{\text{lím}} \; f(x) = c \\ \\ f(a) = d \end{array} \right .$

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

$Salto = \Big| \lim_{x\to {a}^{-}}f(x)-\lim_{x\to {a}^{+}}f(x) \Big|$

Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.

$\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\ \nexists f(a) \end{array} \right .$

De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

$\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; infinito$

Así podemos ver los casos:

$\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \end{array} \right .$

Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

$\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; asint \acute{o} tica$

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

$\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \end{array} \right .$

Discontinuidad de segunda especie[editar]

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

$\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \forall x > a: \; \nexists f(x) \end{array} \right .$

Asíntotas

En matemática, se le llama asintota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente.
O que ambas presentan un comportamiento asintotico. Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintotico.

TIPOS DE ASINTOTAS:

Asíntota horizontal (paralelas al eje X)

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.

La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.
Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:

1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador.

2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas.

La recta y=b es asíntota horizontal (AH) de f(x) si lim_x->inf f(x) = b.

Asíntota vertical (paralelas al eje Y)

Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

OJO: No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal.

Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar.

2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito.

NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.

La recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si lim_x->a+ f(x) = info lim_x->a- f(x) = inf.

Asíntota oblicua (inclinadas)

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas de la forma Y= mx + n

Una función racional tiene asíntotas oblicuas si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Pueden encontrarse en una función hasta dos asíntotas oblicuas distintas. Una por la derecha de su gráfica y otra por la izquierda. Podemos calcular esto de la siguiente forma:

Si m me da distinto de cero y ± ∞ podemos calcular n de esta manera:

La recta y = mx + n es asíntota oblicua (AO) de f(x) si lim_x->inf f(x) - (mx + n) = 0.

CALCULO DIFERENCIAL

lunes, 2 de noviembre de 2015

TAREAS

CALCULO DIFERENCIAL TERCERA UNIDAD

Límite

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito

De salto infinito

Discontinuidad asintótica

Discontinuidad de segunda especie[editar]

Asíntotas

TIPOS DE ASINTOTAS:

Asíntota horizontal (paralelas al eje X)

Asíntota vertical (paralelas al eje Y)

Asíntota oblicua (inclinadas)

lunes, 2 de noviembre de 2015

TAREAS

CALCULO DIFERENCIAL TERCERA UNIDAD

Límite

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a). La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito

De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito: Así podemos ver los casos:

Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos: A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie[editar]

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

Asíntotas

TIPOS DE ASINTOTAS:

Asíntota horizontal (paralelas al eje X)

Asíntota vertical (paralelas al eje Y)

Asíntota oblicua (inclinadas)

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.