Límite

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertosinducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular límite

porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular límite

, porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D=

− {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

CONTINUIDAD

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de

\R

\R

es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones realesde una variable real.

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite.

DISCONTINUIDAD

Una discontinuidad en matemática es un punto de una función y=f(x) en la cual la misma sufre un "salto" o cambio "brusco" de valor. Se verifica una discontinuidad cuando el valor de la función en un punto difiere del límite de esa función cuando nos acercamos a ese punto por derecha y por izquierda.

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Tipos de discontinuidades

\left \{ \begin{array}{l} Discontinua { \color{Red} \left \{ \begin{array}{l} Evitable \\ No \; evitable { \color{PineGreen} \left \{ \begin{array}{l} De \; primera \; especie { \color{Blue} \left \{ \begin{array}{l} De \; salto \; finito \\ De \; salto \; infinito \\ Asint \acute{o} tica \end{array} \right . }\\ \\ De \; segunda \; especie \end{array} \right . } \\ \end{array} \right . } \\ Continua \end{array} \right .

Discontinuidad evitable

Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.

Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.

\left \{ \begin{array}{l} \left . \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{\text{lím}} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{\text{lím}} \; f(x) = c \end{array} \right \} \underset{x \to {a}}{\text{lím}} \; f(x) = c \\ \\ f(a) = d \end{array} \right .

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

Salto = \Big| \lim_{x\to {a}^{-}}f(x)-\lim_{x\to {a}^{+}}f(x) \Big|

Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.

\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\ \nexists f(a) \end{array} \right .

De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; infinito

Así podemos ver los casos:

\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \end{array} \right .

Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; asint \acute{o} tica

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \end{array} \right .

Discontinuidad de segunda especie[editar]

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.